La **formule d'Euler** est l'une des relations les plus élégantes et fondamentales des mathématiques, établissant un lien profond entre l'analyse, la trigonométrie et les nombres complexes. Elle est généralement écrite comme suit : \[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \] où : - \( e \) est la base du logarithme naturel (\( \approx 2.718 \)), - \( i \) est l'unité imaginaire (\( i^2 = -1 \)), - \( \theta \) est un angle en radians, - \( \cos(\theta) \) et \( \sin(\theta) \) sont les fonctions trigonométriques usuelles. --- ### **1. Compréhension intuitive** La formule d'Euler exprime le fait qu'une exponentielle complexe (\( e^{i\theta} \)) peut être décrite en termes de coordonnées polaires sur le plan complexe. - Si on considère un point sur le cercle unitaire dans le plan complexe, sa position peut être donnée par ses coordonnées cartésiennes (\( x, y \)) : \[ x = \cos(\theta), \quad y = \sin(\theta) \] - Ces coordonnées correspondent à une rotation d'un angle \( \theta \) autour de l'origine. La formule montre que la fonction exponentielle complexe encode cette rotation. --- ### **2. Démonstration de la formule** Une manière classique de démontrer la formule repose sur le **développement en série de Taylor** des fonctions \( e^z \), \( \cos(z) \) et \( \sin(z) \). #### **a. Développement en série de \( e^z \) :** \[ e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \] Pour \( z = i\theta \), cela devient : \[ e^{i\theta} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\theta)^n}{n!} \] #### **b. Séparer les termes pairs et impairs :** Les puissances de \( i \) suivent le cycle \( i, -1, -i, 1 \), donc : - Les termes où \( n \) est pair donnent une série pour \( \cos(\theta) \), - Les termes où \( n \) est impair donnent une série pour \( i\sin(\theta) \). En séparant les termes, on obtient : \[ e^{i\theta} = \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!}\right) + i\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!}\right) \] Ce sont précisément les développements en série de \( \cos(\theta) \) et \( \sin(\theta) \), d'où : \[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \] --- ### **3. Cas particulier : L'identité d'Euler** Un cas célèbre de la formule d'Euler se produit lorsque \( \theta = \pi \). En remplaçant dans la formule, on obtient : \[ e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) \] Or : \[ \cos(\pi) = -1 \quad \text{et} \quad \sin(\pi) = 0 \] D'où : \[ e^{i\pi} + 1 = 0 \] C'est l'**identité d'Euler**, qui relie les cinq constantes fondamentales des mathématiques : \[ e, i, \pi, 1, \text{et } 0. \] --- ### **4. Applications de la formule d'Euler** 1. **Analyse complexe :** - La formule est essentielle pour décrire les fonctions exponentielles et trigonométriques dans le plan complexe. - Elle est utilisée pour simplifier les calculs impliquant les rotations et les oscillations. 2. **Équations différentielles :** - Les solutions des systèmes oscillatoires (comme un circuit électrique ou un pendule) utilisent \( e^{i\theta} \). 3. **Physique :** - En mécanique quantique, la fonction d'onde est souvent exprimée sous forme exponentielle complexe. - En électromagnétisme, les signaux périodiques sont représentés comme des exponentielles complexes. 4. **Traitement du signal :** - La transformation de Fourier, utilisée en traitement du signal, repose sur \( e^{i\theta} \) pour décomposer les signaux en fréquences. --- ### **5. Représentation géométrique** Sur le plan complexe, \( e^{i\theta} \) représente un point sur le **cercle unitaire**, de rayon 1 et faisant un angle \( \theta \) avec l'axe réel. Cela permet de visualiser les exponentielles complexes comme des rotations. --- La **formule d'Euler** est un pont fascinant entre différentes branches des mathématiques et des sciences. Si vous avez des questions ou des points à approfondir, je suis là pour aider ! 😊